Théorème de Tonelli, théorème de Fubbini-Tonelli :
$$\begin{align}\sum_{i,j}u_{i,j}&=\sum_i\left[\sum_ju_{i,j}\right]\\ &=\sum_j\left[\sum_i u_{i,j}\right]\end{align}$$
(Famille sommable - Fonction sommable)
Intégrales
Théorème de Fubini-Tonelli :
soient \(\mu_1,\mu_2\) deux mesures \(\sigma\)-finies
soit \(f:(E_1\times E_2,\xi_1\otimes\xi_2)\to([0,+\infty],{\mathcal B}[0,+\infty])\) mesurable
$$\Huge\iff$$
\(x\mapsto\displaystyle\int_{E_2}f(x,y)\,d\mu_2(y)\) est mesurable sur \(\xi_1\)
\(y\mapsto\displaystyle\int_{E_1}f(x,y)\,d\mu_1(x)\) est mesurable sur \(\xi_2\)
on a : $$\begin{align}\int_{E_1\times E_2}f\,d(\mu_1\otimes\mu_2)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)\,d\mu_2(y)\right)\,d\mu_1(x)\\ &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)\,d\mu_1(x)\right)\,d\mu_2(y)\end{align}$$
[!Note] Notaton
Souvent, on écrit \(\displaystyle\iint f(x,y)\,d\mu_1(x)\,d\mu_2(y)\) ou \(\displaystyle\int_{E_1\times E_2}f\,d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)\) à la place de \(\displaystyle\int_{E_1\times E_2}f\,d(\mu_1\otimes\mu_2)\)
Cas avec des signes variables (fonction pas forcément à valeurs positives) \(\longrightarrow\) Théorème de Fubini-Lebesgue